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Resolver desigualdades/ arctg(2x^2-5x-1)+arctg(x^2-2x+5)≤0

arctg(2x^2-5x-1)+arctg(x^2-2x+5)≤0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
    /   2          \       / 2          \     
atan\2*x  - 5*x - 1/ + atan\x  - 2*x + 5/ <= 0
atan⁡((x2−2x)+5)+atan⁡((2x2−5x)−1)≤0\operatorname{atan}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5 \right)} + \operatorname{atan}{\left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) - 1 \right)} \leq 0 
atan(x^2 - 2*x + 5) + atan(2*x^2 - 5*x - 1) <= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
atan⁡((x2−2x)+5)+atan⁡((2x2−5x)−1)≤0\operatorname{atan}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5 \right)} + \operatorname{atan}{\left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) - 1 \right)} \leq 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
atan⁡((x2−2x)+5)+atan⁡((2x2−5x)−1)=0\operatorname{atan}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5 \right)} + \operatorname{atan}{\left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) - 1 \right)} = 0
Resolvemos:
x1=1x_{1} = 1
x2=43x_{2} = \frac{4}{3}
x1=1x_{1} = 1
x2=43x_{2} = \frac{4}{3}
Las raíces dadas
x1=1x_{1} = 1
x2=43x_{2} = \frac{4}{3}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+1- \frac{1}{10} + 1
=
910\frac{9}{10}
lo sustituimos en la expresión
atan⁡((x2−2x)+5)+atan⁡((2x2−5x)−1)≤0\operatorname{atan}{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5 \right)} + \operatorname{atan}{\left(\left(2 x^{2} - 5 x\right) - 1 \right)} \leq 0
atan⁡((−5⋅910+2(910)2)−1)+atan⁡((−2⋅910+(910)2)+5)≤0\operatorname{atan}{\left(\left(- \frac{5 \cdot 9}{10} + 2 \left(\frac{9}{10}\right)^{2}\right) - 1 \right)} + \operatorname{atan}{\left(\left(- \frac{2 \cdot 9}{10} + \left(\frac{9}{10}\right)^{2}\right) + 5 \right)} \leq 0
      /97\       /401\     
- atan|--| + atan|---| <= 0
      \25/       \100/

pero
      /97\       /401\     
- atan|--| + atan|---| >= 0
      \25/       \100/

Entonces
x≤1x \leq 1
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥1∧x≤43x \geq 1 \wedge x \leq \frac{4}{3}
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
02468-8-6-4-2105-5
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