(x-3)*(x-1)-sqrt(2)*(x-3)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) - \sqrt{2} \left(x - 3\right) < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) - \sqrt{2} \left(x - 3\right) = 0$$
Resolvemos:
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) - \sqrt{2} \left(x - 3\right) = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$x^{2} - 4 x - \sqrt{2} x + 3 + 3 \sqrt{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -4 - \sqrt{2}$$
$$c = 3 + 3 \sqrt{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-4 - sqrt(2))^2 - 4 * (1) * (3 + 3*sqrt(2)) = -12 + (-4 - sqrt(2))^2 - 12*sqrt(2)

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(- \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\right)$$
=
$$- \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 3\right) \left(x - 1\right) - \sqrt{2} \left(x - 3\right) < 0$$
$$\left(-3 + \left(- \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{19}{10}\right)\right) \left(-1 + \left(- \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{19}{10}\right)\right) - \sqrt{2} \left(-3 + \left(- \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{19}{10}\right)\right) < 0$$

/                   ________________________________\ /                 ________________________________\         /                   ________________________________\    
|                  /                   2            | |                /                   2            |         |                  /                   2            |    
|         ___     /        /       ___\         ___ | |       ___     /        /       ___\         ___ |         |         ___     /        /       ___\         ___ |    
|  11   \/ 2    \/   -12 + \-4 - \/ 2 /  - 12*\/ 2  | |9    \/ 2    \/   -12 + \-4 - \/ 2 /  - 12*\/ 2  |     ___ |  11   \/ 2    \/   -12 + \-4 - \/ 2 /  - 12*\/ 2  | < 0
|- -- + ----- - ------------------------------------|*|-- + ----- - ------------------------------------| - \/ 2 *|- -- + ----- - ------------------------------------|    
\  10     2                      2                  / \10     2                      2                  /         \  10     2                      2                  /    
    

pero

/                   ________________________________\ /                 ________________________________\         /                   ________________________________\    
|                  /                   2            | |                /                   2            |         |                  /                   2            |    
|         ___     /        /       ___\         ___ | |       ___     /        /       ___\         ___ |         |         ___     /        /       ___\         ___ |    
|  11   \/ 2    \/   -12 + \-4 - \/ 2 /  - 12*\/ 2  | |9    \/ 2    \/   -12 + \-4 - \/ 2 /  - 12*\/ 2  |     ___ |  11   \/ 2    \/   -12 + \-4 - \/ 2 /  - 12*\/ 2  | > 0
|- -- + ----- - ------------------------------------|*|-- + ----- - ------------------------------------| - \/ 2 *|- -- + ----- - ------------------------------------|    
\  10     2                      2                  / \10     2                      2                  /         \  10     2                      2                  /    
    

Entonces
$$x < - \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \wedge x < \frac{\sqrt{- 12 \sqrt{2} - 12 + \left(-4 - \sqrt{2}\right)^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + 2$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1