ctg(x)<=-sqrt3/3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cot{\left(x \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cot{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cot{\left(x \right)} = \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
cambiamos
$$\cot{\left(x \right)} - 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = 0$$
$$\cot{\left(x \right)} - 1 - \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cot{\left(x \right)}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-1 + w - -sqrt+3)/3 = 0

Transportamos los términos libres (sin w)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$w + \frac{\sqrt{3}}{3} = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (w + sqrt(3)/3)/w

w = 1 / ((w + sqrt(3)/3)/w)

Obtenemos la respuesta: w = 1 - sqrt(3)/3
hacemos cambio inverso
$$\cot{\left(x \right)} = w$$
sustituimos w:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cot{\left(x \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$
$$\cot{\left(- \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10} \right)} \leq \frac{\left(-1\right) \sqrt{3}}{3}$$

                    ___ 
    /1    pi\    -\/ 3  
-cot|-- + --| <= -------
    \10   3 /       3   
                 

pero

                    ___ 
    /1    pi\    -\/ 3  
-cot|-- + --| >= -------
    \10   3 /       3   
                 

Entonces
$$x \leq - \frac{\pi}{3}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq - \frac{\pi}{3}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1