lgx(lgx-3)<3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\log{\left(x \right)} - 3\right) \log{\left(x \right)} < 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\log{\left(x \right)} - 3\right) \log{\left(x \right)} = 3$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}}$$
$$x_{1} = e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}}$$
$$x_{2} = e^{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\log{\left(x \right)} - 3\right) \log{\left(x \right)} < 3$$
$$\left(-3 + \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}} \right)}\right) \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}} \right)} < 3$$

/        /              ____\\    /              ____\    
|        |        3   \/ 21 ||    |        3   \/ 21 |    
|        |        - - ------||    |        - - ------|    
|        |  1     2     2   ||    |  1     2     2   | < 3
|-3 + log|- -- + e          ||*log|- -- + e          |    
\        \  10              //    \  10              /    
    

pero

/        /              ____\\    /              ____\    
|        |        3   \/ 21 ||    |        3   \/ 21 |    
|        |        - - ------||    |        - - ------|    
|        |  1     2     2   ||    |  1     2     2   | > 3
|-3 + log|- -- + e          ||*log|- -- + e          |    
\        \  10              //    \  10              /    
    

Entonces
$$x < e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > e^{\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{21}}{2}} \wedge x < e^{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{21}}{2}}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2