lgx^2-lgx-2<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\log{\left(x \right)}^{2} - \log{\left(x \right)}\right) - 2 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\log{\left(x \right)}^{2} - \log{\left(x \right)}\right) - 2 = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = e^{-1}$$
$$x_{2} = e^{2}$$
$$x_{1} = e^{-1}$$
$$x_{2} = e^{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = e^{-1}$$
$$x_{2} = e^{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
=
$$- \frac{1}{10} + e^{-1}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\log{\left(x \right)}^{2} - \log{\left(x \right)}\right) - 2 \leq 0$$
$$-2 + \left(- \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)} + \log{\left(- \frac{1}{10} + e^{-1} \right)}^{2}\right) \leq 0$$

        2/  1     -1\      /  1     -1\     
-2 + log |- -- + e  | - log|- -- + e  | <= 0
         \  10      /      \  10      /     

pero

        2/  1     -1\      /  1     -1\     
-2 + log |- -- + e  | - log|- -- + e  | >= 0
         \  10      /      \  10      /     

Entonces
$$x \leq e^{-1}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq e^{-1} \wedge x \leq e^{2}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2