(2x^2-1)/(x-8)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x - 8} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x - 8} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x - 8} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-8 + x
obtendremos:
$$\frac{\left(x - 8\right) \left(2 x^{2} - 1\right)}{x - 8} = 0$$
$$2 x^{2} - 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = 0$$
$$c = -1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (2) * (-1) = 8

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{2 x^{2} - 1}{x - 8} > 0$$
$$\frac{-1 + 2 \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{10}\right)^{2}}{-8 + \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{10}\right)} > 0$$

                     2    
       /         ___\     
       |  1    \/ 2 |     
-1 + 2*|- -- - -----|     
       \  10     2  /     
---------------------- > 0
              ___         
       81   \/ 2          
     - -- - -----         
       10     2           
    

Entonces
$$x < - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{\sqrt{2}}{2} \wedge x < \frac{\sqrt{2}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1