Sr Examen

Lang:

log4(3-2x)<1/2 desigualdades

Ha introducido [src]

log(3 - 2*x)      
------------ < 1/2
   log(4)

\frac{\log{\left(3 - 2 x \right)}}{\log{\left(4 \right)}} < \frac{1}{2}

log(3 - 2*x)/log(4) < 1/2

Solución detallada

Se da la desigualdad:

\frac{\log{\left(3 - 2 x \right)}}{\log{\left(4 \right)}} < \frac{1}{2}

Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:

\frac{\log{\left(3 - 2 x \right)}}{\log{\left(4 \right)}} = \frac{1}{2}

Resolvemos:
Tenemos la ecuación

\frac{\log{\left(3 - 2 x \right)}}{\log{\left(4 \right)}} = \frac{1}{2}

\frac{\log{\left(3 - 2 x \right)}}{\log{\left(4 \right)}} = \frac{1}{2}

Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(4)

\log{\left(3 - 2 x \right)} = \frac{\log{\left(4 \right)}}{2}

Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces

3 - 2 x = e^{\frac{1}{2 \frac{1}{\log{\left(4 \right)}}}}

simplificamos

3 - 2 x = 2

- 2 x = -1

x = \frac{1}{2}

x_{1} = \frac{1}{2}

x_{1} = \frac{1}{2}

Las raíces dadas

x_{1} = \frac{1}{2}

son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:

x_{0} < x_{1}

Consideremos, por ejemplo, el punto

x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}

- \frac{1}{10} + \frac{1}{2}

\frac{2}{5}

lo sustituimos en la expresión

\frac{\log{\left(3 - 2 x \right)}}{\log{\left(4 \right)}} < \frac{1}{2}

\frac{\log{\left(3 - \frac{2 \cdot 2}{5} \right)}}{\log{\left(4 \right)}} < \frac{1}{2}

log(11/5)      
--------- < 1/2
  log(4)

pero

log(11/5)      
--------- > 1/2
  log(4)

Entonces

x < \frac{1}{2}

no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:

x > \frac{1}{2}

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Solución de la desigualdad en el gráfico