Se da la desigualdad:
$$\left(\left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)^{2} - 28 \left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)\right) + 192 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)^{2} - 28 \left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)\right) + 192 = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{\log{\left(-4 + 4 \sqrt{2} \right)} + i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-4 + 2 \sqrt{7} \right)} + i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{3} = 1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{4} = \frac{\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 2$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\frac{9}{10} + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)^{2} - 28 \left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)\right) + 192 \geq 0$$
$$\left(- 28 \left(- 2^{3 + \left(\frac{9}{10} + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)} + 4^{\frac{9}{10} + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}}\right) + \left(- 2^{3 + \left(\frac{9}{10} + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)} + 4^{\frac{9}{10} + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}}\right)^{2}\right) + 192 \geq 0$$
2
/ / ___\ / ___\\ / ___\ / ___\
| 9 log\2 + \/ 7 / 39 log\2 + \/ 7 /| 9 log\2 + \/ 7 / 39 log\2 + \/ 7 /
| -- + -------------- -- + --------------| -- + -------------- -- + -------------- >= 0
| 10 log(2) 10 log(2) | 10 log(2) 10 log(2)
192 + \4 - 2 / - 28*4 + 28*2
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
_____ _____
\ /
-------•-------•-------
x1 x2
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x \geq \frac{\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 2$$