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(4^x-2^(x+3))^2-28*(4^x-2^(x+3))+192>=0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
             2                              
/ x    x + 3\       / x    x + 3\           
\4  - 2     /  - 28*\4  - 2     / + 192 >= 0
$$\left(\left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)^{2} - 28 \left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)\right) + 192 \geq 0$$
(-2^(x + 3) + 4^x)^2 - 28*(-2^(x + 3) + 4^x) + 192 >= 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\left(\left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)^{2} - 28 \left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)\right) + 192 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)^{2} - 28 \left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)\right) + 192 = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{\log{\left(-4 + 4 \sqrt{2} \right)} + i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(-4 + 2 \sqrt{7} \right)} + i \pi}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{3} = 1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{4} = \frac{\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 2$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\frac{9}{10} + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)^{2} - 28 \left(- 2^{x + 3} + 4^{x}\right)\right) + 192 \geq 0$$
$$\left(- 28 \left(- 2^{3 + \left(\frac{9}{10} + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)} + 4^{\frac{9}{10} + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}}\right) + \left(- 2^{3 + \left(\frac{9}{10} + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right)} + 4^{\frac{9}{10} + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}}\right)^{2}\right) + 192 \geq 0$$
                                                   2                                                         
      /         /      ___\            /      ___\\                /      ___\               /      ___\     
      | 9    log\2 + \/ 7 /    39   log\2 + \/ 7 /|        9    log\2 + \/ 7 /       39   log\2 + \/ 7 /     
      | -- + --------------    -- + --------------|        -- + --------------       -- + -------------- >= 0
      | 10       log(2)        10       log(2)    |        10       log(2)           10       log(2)         
192 + \4                    - 2                   /  - 28*4                    + 28*2                        
     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 1 + \frac{\log{\left(2 + \sqrt{7} \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
$$x \geq \frac{\log{\left(1 + \sqrt{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} + 2$$