|x^2+6x|<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x^{2} + 6 x}\right| \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x^{2} + 6 x}\right| = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x^{2} + 6 x \geq 0$$
o
$$\left(0 \leq x \wedge x < \infty\right) \vee \left(x \leq -6 \wedge -\infty < x\right)$$
obtenemos la ecuación
$$x^{2} + 6 x = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} + 6 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 0$$

2.
$$x^{2} + 6 x < 0$$
o
$$-6 < x \wedge x < 0$$
obtenemos la ecuación
$$- x^{2} - 6 x = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x^{2} - 6 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -6$$
pero x3 no satisface a la desigualdad
$$x_{4} = 0$$
pero x4 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 0$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -6$$
$$x_{2} = 0$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-6 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{61}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{x^{2} + 6 x}\right| \leq 0$$
$$\left|{\frac{\left(-61\right) 6}{10} + \left(- \frac{61}{10}\right)^{2}}\right| \leq 0$$

 61     
--- <= 0
100     

pero

 61     
--- >= 0
100     

Entonces
$$x \leq -6$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -6 \wedge x \leq 0$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2