sqrt(2x-13)-sqrt(39-2x)>=sqrt(2) desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \sqrt{39 - 2 x} + \sqrt{2 x - 13} \geq \sqrt{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sqrt{39 - 2 x} + \sqrt{2 x - 13} = \sqrt{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{39 - 2 x} + \sqrt{2 x - 13} = \sqrt{2}$$
cambiamos:
$$- \sqrt{39 - 2 x} + \sqrt{2 x - 13} = \sqrt{2}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{39 - 2 x} + \sqrt{2 x - 13}\right)^{2} = 2$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(39 - 2 x\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(39 - 2 x\right) \left(2 x - 13\right)} + 1^{2} \left(2 x - 13\right)\right) = 2$$
o
$$26 - 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 104 x - 507} = 2$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 104 x - 507} = -24$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 16 x^{2} + 416 x - 2028 = 576$$
$$- 16 x^{2} + 416 x - 2028 = 576$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 16 x^{2} + 416 x - 2604 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -16$$
$$b = 416$$
$$c = -2604$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(416)^2 - 4 * (-16) * (-2604) = 6400

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{21}{2}$$
$$x_{2} = \frac{31}{2}$$

Como
$$\sqrt{- 4 x^{2} + 104 x - 507} = 12$$
y
$$\sqrt{- 4 x^{2} + 104 x - 507} \geq 0$$
entonces
$$12 \geq 0$$
$$x_{1} = \frac{21}{2}$$
$$x_{2} = \frac{31}{2}$$
comprobamos:
$$x_{1} = \frac{21}{2}$$
$$- \sqrt{39 - 2 x_{1}} + \sqrt{2 x_{1} - 13} - \sqrt{2} = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{39 - 21} + \sqrt{-13 + \frac{2 \cdot 21}{2}}\right) - \sqrt{2} = 0$$
=

-2*sqrt(2) = 0

- No
$$x_{2} = \frac{31}{2}$$
$$- \sqrt{39 - 2 x_{2}} + \sqrt{2 x_{2} - 13} - \sqrt{2} = 0$$
=
$$- \sqrt{2} + \left(- \sqrt{39 - 31} + \sqrt{-13 + \frac{2 \cdot 31}{2}}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = \frac{31}{2}$$
$$x_{1} = \frac{31}{2}$$
$$x_{1} = \frac{31}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{31}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{31}{2}$$
=
$$\frac{77}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sqrt{39 - 2 x} + \sqrt{2 x - 13} \geq \sqrt{2}$$
$$- \sqrt{39 - \frac{2 \cdot 77}{5}} + \sqrt{-13 + \frac{2 \cdot 77}{5}} \geq \sqrt{2}$$

    _____     _____         
  \/ 205    \/ 445       ___
- ------- + ------- >= \/ 2 
     5         5       
         

pero

    _____     _____        
  \/ 205    \/ 445      ___
- ------- + ------- < \/ 2 
     5         5      
        

Entonces
$$x \leq \frac{31}{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{31}{2}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1