Sr Examen

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sqrt(5x^2+16x+12)-cbrt(5x^2+16x+11)<=1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
   __________________      __________________     
  /    2                3 /    2                  
\/  5*x  + 16*x + 12  - \/  5*x  + 16*x + 11  <= 1
(5x2+16x)+113+(5x2+16x)+121- \sqrt[3]{\left(5 x^{2} + 16 x\right) + 11} + \sqrt{\left(5 x^{2} + 16 x\right) + 12} \leq 1
-(5*x^2 + 16*x + 11)^(1/3) + sqrt(5*x^2 + 16*x + 12) <= 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
(5x2+16x)+113+(5x2+16x)+121- \sqrt[3]{\left(5 x^{2} + 16 x\right) + 11} + \sqrt{\left(5 x^{2} + 16 x\right) + 12} \leq 1
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
(5x2+16x)+113+(5x2+16x)+12=1- \sqrt[3]{\left(5 x^{2} + 16 x\right) + 11} + \sqrt{\left(5 x^{2} + 16 x\right) + 12} = 1
Resolvemos:
x1=3x_{1} = -3
x2=115x_{2} = - \frac{11}{5}
x1=3x_{1} = -3
x2=115x_{2} = - \frac{11}{5}
Las raíces dadas
x1=3x_{1} = -3
x2=115x_{2} = - \frac{11}{5}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
3+110-3 + - \frac{1}{10}
=
3110- \frac{31}{10}
lo sustituimos en la expresión
(5x2+16x)+113+(5x2+16x)+121- \sqrt[3]{\left(5 x^{2} + 16 x\right) + 11} + \sqrt{\left(5 x^{2} + 16 x\right) + 12} \leq 1
((31)1610+5(3110)2)+113+((31)1610+5(3110)2)+121- \sqrt[3]{\left(\frac{\left(-31\right) 16}{10} + 5 \left(- \frac{31}{10}\right)^{2}\right) + 11} + \sqrt{\left(\frac{\left(-31\right) 16}{10} + 5 \left(- \frac{31}{10}\right)^{2}\right) + 12} \leq 1
    3 _____     ______     
  3*\/ 350    \/ 1045      
- --------- + -------- <= 1
      10         10        
     

pero
    3 _____     ______     
  3*\/ 350    \/ 1045      
- --------- + -------- >= 1
      10         10        
     

Entonces
x3x \leq -3
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x3x115x \geq -3 \wedge x \leq - \frac{11}{5}
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
05-20-15-10-5101520050