Se da la desigualdad:
$$- \frac{x \left(1 - x\right)}{x - 7} + \log{\left(7 \right)} \leq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \frac{x \left(1 - x\right)}{x - 7} + \log{\left(7 \right)} = -1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$- \frac{x \left(1 - x\right)}{x - 7} + \log{\left(7 \right)} = -1$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} + x \log{\left(7 \right)} - 7 \log{\left(7 \right)} - 7}{x - 7} = 0$$
denominador
$$x - 7$$
entonces
x no es igual a 7
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} + x \log{\left(7 \right)} - 7 \log{\left(7 \right)} - 7 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} + x \log{\left(7 \right)} - 7 \log{\left(7 \right)} - 7 = 0$$
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0
La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = \log{\left(7 \right)}$$
$$c = - 7 \log{\left(7 \right)} - 7$$
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c =
(log(7))^2 - 4 * (1) * (-7 - 7*log(7)) = 28 + log(7)^2 + 28*log(7)
Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
o
$$x_{1} = - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2} - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2}$$
pero
x no es igual a 7
$$x_{1} = - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2} - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2} - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2} - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2} - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2} - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \frac{x \left(1 - x\right)}{x - 7} + \log{\left(7 \right)} \leq -1$$
$$- \frac{\left(1 - \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2} - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2} - \frac{1}{10}\right)\right) \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2} - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2} - \frac{1}{10}\right)}{-7 + \left(- \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2} - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2} - \frac{1}{10}\right)} + \log{\left(7 \right)} \leq -1$$
/ __________________________ \ / __________________________ \
| / 2 | | / 2 |
| 1 \/ 28 + log (7) + 28*log(7) log(7)| |11 \/ 28 + log (7) + 28*log(7) log(7)|
|- -- - ----------------------------- - ------|*|-- + ----------------------------- + ------|
\ 10 2 2 / \10 2 2 /
- --------------------------------------------------------------------------------------------- + log(7) <= -1
__________________________
/ 2
71 \/ 28 + log (7) + 28*log(7) log(7)
- -- - ----------------------------- - ------
10 2 2
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2} - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2}$$
_____ _____
\ /
-------•-------•-------
x2 x1
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2} - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2}$$
$$x \geq - \frac{\log{\left(7 \right)}}{2} + \frac{\sqrt{\log{\left(7 \right)}^{2} + 28 + 28 \log{\left(7 \right)}}}{2}$$