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Resolver desigualdades/ sqrt(x-1)-sqrt(3-x)>=1

sqrt(x-1)-sqrt(3-x)>=1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
  _______     _______     
\/ x - 1  - \/ 3 - x  >= 1
−3−x+x−1≥1- \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 1} \geq 1 
-sqrt(3 - x) + sqrt(x - 1) >= 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
−3−x+x−1≥1- \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 1} \geq 1
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
−3−x+x−1=1- \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 1} = 1
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
−3−x+x−1=1- \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 1} = 1
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
(−3−x+x−1)2=1\left(- \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 1}\right)^{2} = 1
o
(−1)2(3−x)+((−1)2(3−x)(x−1)+12(x−1))=1\left(-1\right)^{2} \left(3 - x\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(3 - x\right) \left(x - 1\right)} + 1^{2} \left(x - 1\right)\right) = 1
o
2−2−x2+4x−3=12 - 2 \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} = 1
cambiamos:
−2−x2+4x−3=−1- 2 \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} = -1
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
−4x2+16x−12=1- 4 x^{2} + 16 x - 12 = 1
−4x2+16x−12=1- 4 x^{2} + 16 x - 12 = 1
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
−4x2+16x−13=0- 4 x^{2} + 16 x - 13 = 0
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
x1=D−b2ax_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
x2=−D−b2ax_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=−4a = -4
b=16b = 16
c=−13c = -13
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(16)^2 - 4 * (-4) * (-13) = 48

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
x1=2−32x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}
x2=32+2x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2

Como
−x2+4x−3=12\sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} = \frac{1}{2}
y
−x2+4x−3≥0\sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} \geq 0
entonces
12≥0\frac{1}{2} \geq 0
x1=2−32x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}
x2=32+2x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2
comprobamos:
x1=2−32x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}
−3−x1+x1−1−1=0- \sqrt{3 - x_{1}} + \sqrt{x_{1} - 1} - 1 = 0
=
(−3−(2−32)+−1+(2−32))−1=0\left(- \sqrt{3 - \left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} + \sqrt{-1 + \left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\right) - 1 = 0
=
-1 + sqrt(1 - sqrt(3)/2) - sqrt(1 + sqrt(3)/2) = 0

- No
x2=32+2x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2
−3−x2+x2−1−1=0- \sqrt{3 - x_{2}} + \sqrt{x_{2} - 1} - 1 = 0
=
−1+(−3−(32+2)+−1+(32+2))=0-1 + \left(- \sqrt{3 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\right)} + \sqrt{-1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\right)}\right) = 0
=
0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
x2=32+2x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2
x1=32+2x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2
x1=32+2x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2
Las raíces dadas
x1=32+2x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+(32+2)- \frac{1}{10} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\right)
=
32+1910\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{19}{10}
lo sustituimos en la expresión
−3−x+x−1≥1- \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 1} \geq 1
−3−(32+1910)+−1+(32+1910)≥1- \sqrt{3 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{19}{10}\right)} + \sqrt{-1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{19}{10}\right)} \geq 1
     ____________        ____________     
    /        ___        /        ___      
   /  9    \/ 3        /  11   \/ 3   >= 1
  /   -- + -----  -   /   -- - -----      
\/    10     2      \/    10     2

pero
     ____________        ____________    
    /        ___        /        ___     
   /  9    \/ 3        /  11   \/ 3   < 1
  /   -- + -----  -   /   -- - -----     
\/    10     2      \/    10     2

Entonces
x≤32+2x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} + 2
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
x≥32+2x \geq \frac{\sqrt{3}}{2} + 2
         _____  
        /
-------•-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
02468-6-4-210125-5
Respuesta rápida 2 [src] 
       ___    
     \/ 3     
[2 + -----, 3]
       2
x in [32+2,3]x\ in\ \left[\frac{\sqrt{3}}{2} + 2, 3\right] 
x in Interval(sqrt(3)/2 + 2, 3)
Respuesta rápida [src] 
   /              ___     \
   |            \/ 3      |
And|x <= 3, 2 + ----- <= x|
   \              2       /
x≤3∧32+2≤xx \leq 3 \wedge \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \leq x 
(x <= 3)∧(2 + sqrt(3)/2 <= x)
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