sqrt(x-1)-sqrt(3-x)>=1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 1} \geq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 1} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 1} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(- \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 1}\right)^{2} = 1$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(3 - x\right) + \left(\left(-1\right) 2 \sqrt{\left(3 - x\right) \left(x - 1\right)} + 1^{2} \left(x - 1\right)\right) = 1$$
o
$$2 - 2 \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} = 1$$
cambiamos:
$$- 2 \sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} = -1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$- 4 x^{2} + 16 x - 12 = 1$$
$$- 4 x^{2} + 16 x - 12 = 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 4 x^{2} + 16 x - 13 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -4$$
$$b = 16$$
$$c = -13$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(16)^2 - 4 * (-4) * (-13) = 48

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2$$

Como
$$\sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} = \frac{1}{2}$$
y
$$\sqrt{- x^{2} + 4 x - 3} \geq 0$$
entonces
$$\frac{1}{2} \geq 0$$
$$x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2$$
comprobamos:
$$x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$- \sqrt{3 - x_{1}} + \sqrt{x_{1} - 1} - 1 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{3 - \left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} + \sqrt{-1 + \left(2 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}\right) - 1 = 0$$
=

-1 + sqrt(1 - sqrt(3)/2) - sqrt(1 + sqrt(3)/2) = 0

- No
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2$$
$$- \sqrt{3 - x_{2}} + \sqrt{x_{2} - 1} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{3 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\right)} + \sqrt{-1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\right)}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 2\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 1} \geq 1$$
$$- \sqrt{3 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{19}{10}\right)} + \sqrt{-1 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{19}{10}\right)} \geq 1$$

     ____________        ____________     
    /        ___        /        ___      
   /  9    \/ 3        /  11   \/ 3   >= 1
  /   -- + -----  -   /   -- - -----      
\/    10     2      \/    10     2        

pero

     ____________        ____________    
    /        ___        /        ___     
   /  9    \/ 3        /  11   \/ 3   < 1
  /   -- + -----  -   /   -- - -----     
\/    10     2      \/    10     2       

Entonces
$$x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} + 2$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{\sqrt{3}}{2} + 2$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1