cos(3x)*(2sin(x/2)-1)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{5 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1\right) \cos{\left(3 x \right)} > 0$$
$$\left(-1 + 2 \sin{\left(\frac{- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}}{2} \right)}\right) \cos{\left(3 \left(- \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}\right) \right)} > 0$$

 /          /1    pi\\              
-|-1 - 2*sin|-- + --||*sin(3/10) > 0
 \          \20   12//              

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\pi}{6}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\pi}{6}$$
$$x > \frac{\pi}{6} \wedge x < \frac{\pi}{3}$$
$$x > \frac{5 \pi}{3}$$