cos(x+pi/3)>=1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \geq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
O
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x + \frac{\pi}{3} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{3}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$x = \pi n$$
$$x = \pi n - \pi$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n - \pi$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n - \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n - \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} \geq \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\left(\pi n - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{3} \right)} \geq \frac{1}{2}$$

   /  1    pi       \       
cos|- -- + -- + pi*n| >= 1/2
   \  10   3        /       

pero

   /  1    pi       \      
cos|- -- + -- + pi*n| < 1/2
   \  10   3        /      

Entonces
$$x \leq \pi n$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \pi n \wedge x \leq \pi n - \pi$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2