Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cos(x+pi/3)

Gráfico de la función y = cos(x+pi/3)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\
f(x) = cos|x + --|
          \    3 /
f(x)=cos⁡(x+π3)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} 
f = cos(x + pi/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x+π3)=0\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=7π6x_{2} = \frac{7 \pi}{6}
Solución numérica
x1=−30.8923277602996x_{1} = -30.8923277602996
x2=−81.1578102177363x_{2} = -81.1578102177363
x3=19.3731546971371x_{3} = 19.3731546971371
x4=−40.317105721069x_{4} = -40.317105721069
x5=−96.8657734856853x_{5} = -96.8657734856853
x6=−56.025068989018x_{6} = -56.025068989018
x7=35.081117965086x_{7} = 35.081117965086
x8=−2.61799387799149x_{8} = -2.61799387799149
x9=41.3643032722656x_{9} = 41.3643032722656
x10=927.293431584587x_{10} = 927.293431584587
x11=94.7713783832921x_{11} = 94.7713783832921
x12=−87.4409955249159x_{12} = -87.4409955249159
x13=−65.4498469497874x_{13} = -65.4498469497874
x14=97.9129710368819x_{14} = 97.9129710368819
x15=101.054563690472x_{15} = 101.054563690472
x16=−24.60914245312x_{16} = -24.60914245312
x17=−34.0339204138894x_{17} = -34.0339204138894
x18=16.2315620435473x_{18} = 16.2315620435473
x19=−21.4675497995303x_{19} = -21.4675497995303
x20=−2509.60893144265x_{20} = -2509.60893144265
x21=−78.0162175641465x_{21} = -78.0162175641465
x22=85.3466004225227x_{22} = 85.3466004225227
x23=−90.5825881785057x_{23} = -90.5825881785057
x24=−62.3082542961976x_{24} = -62.3082542961976
x25=−18.3259571459405x_{25} = -18.3259571459405
x26=72.7802298081635x_{26} = 72.7802298081635
x27=−68.5914396033772x_{27} = -68.5914396033772
x28=9.94837673636768x_{28} = 9.94837673636768
x29=−12.0427718387609x_{29} = -12.0427718387609
x30=82.2050077689329x_{30} = 82.2050077689329
x31=69.6386371545737x_{31} = 69.6386371545737
x32=60.2138591938044x_{32} = 60.2138591938044
x33=−74.8746249105567x_{33} = -74.8746249105567
x34=31.9395253114962x_{34} = 31.9395253114962
x35=50.789081233035x_{35} = 50.789081233035
x36=−49.7418836818384x_{36} = -49.7418836818384
x37=63.3554518473942x_{37} = 63.3554518473942
x38=79.0634151153431x_{38} = 79.0634151153431
x39=91.6297857297023x_{39} = 91.6297857297023
x40=13.0899693899575x_{40} = 13.0899693899575
x41=119.90411961201x_{41} = 119.90411961201
x42=25.6563400043166x_{42} = 25.6563400043166
x43=66.497044500984x_{43} = 66.497044500984
x44=−59.1666616426078x_{44} = -59.1666616426078
x45=38.2227106186758x_{45} = 38.2227106186758
x46=44.5058959258554x_{46} = 44.5058959258554
x47=−100.007366139275x_{47} = -100.007366139275
x48=−15.1843644923507x_{48} = -15.1843644923507
x49=−27.7507351067098x_{49} = -27.7507351067098
x50=−52.8834763354282x_{50} = -52.8834763354282
x51=−71.733032256967x_{51} = -71.733032256967
x52=−46.6002910282486x_{52} = -46.6002910282486
x53=22.5147473507269x_{53} = 22.5147473507269
x54=−5.75958653158129x_{54} = -5.75958653158129
x55=0.523598775598299x_{55} = 0.523598775598299
x56=53.9306738866248x_{56} = 53.9306738866248
x57=6.80678408277789x_{57} = 6.80678408277789
x58=47.6474885794452x_{58} = 47.6474885794452
x59=−93.7241808320955x_{59} = -93.7241808320955
x60=−84.2994028713261x_{60} = -84.2994028713261
x61=75.9218224617533x_{61} = 75.9218224617533
x62=−43.4586983746588x_{62} = -43.4586983746588
x63=−37.1755130674792x_{63} = -37.1755130674792
x64=3.66519142918809x_{64} = 3.66519142918809
x65=−8.90117918517108x_{65} = -8.90117918517108
x66=28.7979326579064x_{66} = 28.7979326579064
x67=57.0722665402146x_{67} = 57.0722665402146
x68=88.4881930761125x_{68} = 88.4881930761125
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x + pi/3).
cos⁡(π3)\cos{\left(\frac{\pi}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=12f{\left(0 \right)} = \frac{1}{2}
Punto:
(0, 1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x+π3)=0- \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi      /pi   pi\ 
(----, cos|-- - --|)
  3       \3    3 / 

 2*pi      /pi   pi\ 
(----, -sin|-- + --|)
  3        \6    3 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π3]∪[2π3,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π3,2π3]\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x+π3)=0- \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=7π6x_{2} = \frac{7 \pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π6,7π6]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π6]∪[7π6,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞cos⁡(x+π3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to -\infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
lim⁡x→∞cos⁡(x+π3)=⟨−1,1⟩\lim_{x \to \infty} \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \left\langle -1, 1\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−1,1⟩y = \left\langle -1, 1\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x + pi/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+π3)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x+π3)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x+π3)=cos⁡(x−π3)\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}
- No
cos⁡(x+π3)=−cos⁡(x−π3)\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = - \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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