Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ cos(x+(pi/3))-1

Gráfico de la función y = cos(x+(pi/3))-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          /    pi\    
f(x) = cos|x + --| - 1
          \    3 /
f(x)=cos⁡(x+π3)−1f{\left(x \right)} = \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1 
f = cos(x + pi/3) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
cos⁡(x+π3)−1=0\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=5π3x_{2} = \frac{5 \pi}{3}
Solución numérica
x1=68.067840622896x_{1} = 68.067840622896
x2=74.3510259182365x_{2} = 74.3510259182365
x3=30.3687294917281x_{3} = 30.3687294917281
x4=−38.7463090241633x_{4} = -38.7463090241633
x5=−82.7286061805984x_{5} = -82.7286061805984
x6=42.9350992719286x_{6} = 42.9350992719286
x7=−1.047197884948x_{7} = -1.047197884948
x8=93.2005824445644x_{8} = 93.2005824445644
x9=−57.5958648046158x_{9} = -57.5958648046158
x10=−13.6135683222534x_{10} = -13.6135683222534
x11=11.5191718122226x_{11} = 11.5191718122226
x12=−51.3126795018451x_{12} = -51.3126795018451
x13=−63.8790510556062x_{13} = -63.8790510556062
x14=−95.2949759363908x_{14} = -95.2949759363908
x15=5.23598813217661x_{15} = 5.23598813217661
x16=−13.6135676562812x_{16} = -13.6135676562812
x17=−95.2949766541678x_{17} = -95.2949766541678
x18=−63.8790501935183x_{18} = -63.8790501935183
x19=−26.1799386522404x_{19} = -26.1799386522404
x20=−32.4631245795436x_{20} = -32.4631245795436
x21=−101.578161953261x_{21} = -101.578161953261
x22=−45.0294942466274x_{22} = -45.0294942466274
x23=86.9173974067754x_{23} = 86.9173974067754
x24=−7.33038307682589x_{24} = -7.33038307682589
x25=86.9173972167005x_{25} = 86.9173972167005
x26=61.7846556667327x_{26} = 61.7846556667327
x27=−76.4454217322964x_{27} = -76.4454217322964
x28=42.9351000623883x_{28} = 42.9351000623883
x29=80.6342119540229x_{29} = 80.6342119540229
x30=−51.3126788801149x_{30} = -51.3126788801149
x31=55.501469168008x_{31} = 55.501469168008
x32=−89.011792198443x_{32} = -89.011792198443
x33=−70.162235824498x_{33} = -70.162235824498
x34=−82.7286069811057x_{34} = -82.7286069811057
x35=61.784655497151x_{35} = 61.784655497151
x36=49.21828448443x_{36} = 49.21828448443
x37=17.8023578617743x_{37} = 17.8023578617743
x38=−19.8967539141283x_{38} = -19.8967539141283
x39=−1.04719709205516x_{39} = -1.04719709205516
x40=−70.1622358120646x_{40} = -70.1622358120646
x41=−89.0117914013259x_{41} = -89.0117914013259
x42=86.9173965904982x_{42} = 86.9173965904982
x43=11.5191725733813x_{43} = 11.5191725733813
x44=55.5014697264737x_{44} = 55.5014697264737
x45=99.4837668797295x_{45} = 99.4837668797295
x46=5.23598732913431x_{46} = 5.23598732913431
x47=68.0678403709668x_{47} = 68.0678403709668
x48=74.3510266393966x_{48} = 74.3510266393966
x49=−63.8790503300893x_{49} = -63.8790503300893
x50=−19.8967530533671x_{50} = -19.8967530533671
x51=86.9173964288891x_{51} = 86.9173964288891
x52=17.8023585073476x_{52} = 17.8023585073476
x53=99.483766182202x_{53} = 99.483766182202
x54=80.6342122207782x_{54} = 80.6342122207782
x55=−26.1799392876319x_{55} = -26.1799392876319
x56=17.8023583939831x_{56} = 17.8023583939831
x57=24.0855429847921x_{57} = 24.0855429847921
x58=−51.3126802348481x_{58} = -51.3126802348481
x59=−70.1622364367418x_{59} = -70.1622364367418
x60=80.6342112394353x_{60} = 80.6342112394353
x61=74.3510260714291x_{61} = 74.3510260714291
x62=−45.029495041739x_{62} = -45.029495041739
x63=−38.7463098260451x_{63} = -38.7463098260451
x64=86.9173968009572x_{64} = 86.9173968009572
x65=−7.33038184400076x_{65} = -7.33038184400076
x66=24.0855440859231x_{66} = 24.0855440859231
x67=−13.6135682483753x_{67} = -13.6135682483753
x68=11.5191733313054x_{68} = 11.5191733313054
x69=−26.1799387133702x_{69} = -26.1799387133702
x70=−7.33038234970242x_{70} = -7.33038234970242
x71=−76.4454209842472x_{71} = -76.4454209842472
x72=36.6519148022553x_{72} = 36.6519148022553
x73=−19.8967525986102x_{73} = -19.8967525986102
x74=−57.5958658923729x_{74} = -57.5958658923729
x75=49.2182852884197x_{75} = 49.2182852884197
x76=93.2005816398396x_{76} = 93.2005816398396
x77=30.3687289114122x_{77} = 30.3687289114122
x78=24.0855432280792x_{78} = 24.0855432280792
x79=−76.4454224109362x_{79} = -76.4454224109362
x80=61.7846550114646x_{80} = 61.7846550114646
x81=−57.5958654382348x_{81} = -57.5958654382348
x82=36.6519140812684x_{82} = 36.6519140812684
x83=30.368728796664x_{83} = 30.368728796664
x84=−32.4631238264292x_{84} = -32.4631238264292
x85=99.4837676465256x_{85} = 99.4837676465256
x86=−32.4631253376294x_{86} = -32.4631253376294
x87=−57.5958654079676x_{87} = -57.5958654079676
x88=36.6519151871741x_{88} = 36.6519151871741
x89=−95.2949773927983x_{89} = -95.2949773927983
x90=42.935098044129x_{90} = 42.935098044129
x91=68.0678412242824x_{91} = 68.0678412242824
x92=55.5014704889569x_{92} = 55.5014704889569
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en cos(x + pi/3) - 1.
−1+cos⁡(π3)-1 + \cos{\left(\frac{\pi}{3} \right)}
Resultado:
f(0)=−12f{\left(0 \right)} = - \frac{1}{2}
Punto:
(0, -1/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−sin⁡(x+π3)=0- \sin{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
x2=2π3x_{2} = \frac{2 \pi}{3}
Signos de extremos en los puntos:
 -pi           /pi   pi\ 
(----, -1 + cos|-- - --|)
  3            \3    3 / 

 2*pi          /pi   pi\ 
(----, -1 - sin|-- + --|)
  3            \6    3 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2π3x_{1} = \frac{2 \pi}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=−π3x_{1} = - \frac{\pi}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−π3]∪[2π3,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{2 \pi}{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−π3,2π3]\left[- \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−cos⁡(x+π3)=0- \cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π6x_{1} = \frac{\pi}{6}
x2=7π6x_{2} = \frac{7 \pi}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π6,7π6]\left[\frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π6]∪[7π6,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+π3)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
lim⁡x→∞(cos⁡(x+π3)−1)=⟨−2,0⟩\lim_{x \to \infty}\left(\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1\right) = \left\langle -2, 0\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−2,0⟩y = \left\langle -2, 0\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(x + pi/3) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(cos⁡(x+π3)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(cos⁡(x+π3)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
cos⁡(x+π3)−1=cos⁡(x−π3)−1\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1 = \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)} - 1
- No
cos⁡(x+π3)−1=1−cos⁡(x−π3)\cos{\left(x + \frac{\pi}{3} \right)} - 1 = 1 - \cos{\left(x - \frac{\pi}{3} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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