log2x<-3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(2 x \right)} < -3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(2 x \right)} = -3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\log{\left(2 x \right)} = -3$$
$$\log{\left(2 x \right)} = -3$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$2 x = e^{- \frac{3}{1}}$$
simplificamos
$$2 x = e^{-3}$$
$$x = \frac{1}{2 e^{3}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2 e^{3}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2 e^{3}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{2 e^{3}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2 \left(e^{1}\right)^{3}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2 e^{3}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(2 x \right)} < -3$$
$$\log{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{1}{2 \left(e^{1}\right)^{3}}\right) \right)} < -3$$

          /1    -3\     
pi*I + log|- - e  | < -3
          \5      /     

Entonces
$$x < \frac{1}{2 e^{3}}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > \frac{1}{2 e^{3}}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1