Se da la desigualdad:
$$\frac{x \frac{1}{\log{\left(x - 1 \right)}}}{6} \geq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x \frac{1}{\log{\left(x - 1 \right)}}}{6} = -1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 6 W\left(\frac{1}{6 e^{\frac{1}{6}}}\right) + 1$$
$$x_{1} = 6 W\left(\frac{1}{6 e^{\frac{1}{6}}}\right) + 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 6 W\left(\frac{1}{6 e^{\frac{1}{6}}}\right) + 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(6 W\left(\frac{1}{6 \sqrt[6]{e^{1}}}\right) + 1\right)$$
=
$$6 W\left(\frac{1}{6 e^{\frac{1}{6}}}\right) + \frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x \frac{1}{\log{\left(x - 1 \right)}}}{6} \geq -1$$
$$\frac{\left(6 W\left(\frac{1}{6 \sqrt[6]{e^{1}}}\right) + \frac{9}{10}\right) \frac{1}{\log{\left(-1 + \left(6 W\left(\frac{1}{6 \sqrt[6]{e^{1}}}\right) + \frac{9}{10}\right) \right)}}}{6} \geq -1$$
/ -1/6\
9 |e |
-- + 6*W|-----|
10 \ 6 /
------------------------ >= -1
/ / -1/6\\
| 1 |e ||
6*log|- -- + 6*W|-----||
\ 10 \ 6 //
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 6 W\left(\frac{1}{6 e^{\frac{1}{6}}}\right) + 1$$
_____
\
-------•-------
x1