-x^2+2x+8>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- x^{2} + 2 x\right) + 8 \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- x^{2} + 2 x\right) + 8 = 0$$
Resolvemos:
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 2$$
$$c = 8$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (-1) * (8) = 36

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- x^{2} + 2 x\right) + 8 \geq 0$$
$$\left(- \left(- \frac{21}{10}\right)^{2} + \frac{\left(-21\right) 2}{10}\right) + 8 \geq 0$$

-61      
---- >= 0
100      

pero

-61     
---- < 0
100     

Entonces
$$x \leq -2$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -2 \wedge x \leq 4$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2