sqrt(x)+sqrt(4-x)>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{x} + \sqrt{4 - x} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{x} + \sqrt{4 - x} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x} + \sqrt{4 - x} = 2$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x} + \sqrt{4 - x}\right)^{2} = 4$$
o
$$1^{2} \left(4 - x\right) + \left(1^{2} x + 2 \sqrt{x \left(4 - x\right)}\right) = 4$$
o
$$2 \sqrt{- x^{2} + 4 x} + 4 = 4$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{- x^{2} + 4 x} = 0$$
cambiamos
$$- x^{2} + 4 x = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 4$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (-1) * (0) = 16

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
comprobamos:
$$x_{1} = 0$$
$$\sqrt{x_{1}} + \sqrt{4 - x_{1}} - 2 = 0$$
=
$$-2 + \left(\sqrt{0} + \sqrt{4 - 0}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
$$x_{2} = 4$$
$$\sqrt{x_{2}} + \sqrt{4 - x_{2}} - 2 = 0$$
=
$$-2 + \left(\sqrt{4 - 4} + \sqrt{4}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{x} + \sqrt{4 - x} > 2$$
$$\sqrt{4 - - \frac{1}{10}} + \sqrt{- \frac{1}{10}} > 2$$

  _____       ____    
\/ 410    I*\/ 10     
------- + -------- > 2
   10        10       
    

Entonces
$$x < 0$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 0 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2