9^x-7*3^x-18<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 7 \cdot 3^{x} + 9^{x}\right) - 18 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 7 \cdot 3^{x} + 9^{x}\right) - 18 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(- 7 \cdot 3^{x} + 9^{x}\right) - 18 = 0$$
o
$$\left(- 7 \cdot 3^{x} + 9^{x}\right) - 18 = 0$$
Sustituimos
$$v = 3^{x}$$
obtendremos
$$v^{2} - 7 v - 18 = 0$$
o
$$v^{2} - 7 v - 18 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -7$$
$$c = -18$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-7)^2 - 4 * (1) * (-18) = 121

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = 9$$
$$v_{2} = -2$$
hacemos cambio inverso
$$3^{x} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 9$$
$$x_{2} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 9$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 7 \cdot 3^{x} + 9^{x}\right) - 18 < 0$$
$$-18 + \left(- \frac{7}{3^{\frac{21}{10}}} + \frac{1}{9^{\frac{21}{10}}}\right) < 0$$

         9/10    4/5    
      7*3       3       
-18 - ------- + ---- < 0
         27     243     
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -2$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -2$$
$$x > 9$$