log5-x(x+1)<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x \left(x + 1\right) + \log{\left(5 \right)} < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x \left(x + 1\right) + \log{\left(5 \right)} = 1$$
Resolvemos:
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$- x \left(x + 1\right) + \log{\left(5 \right)} = 1$$
en
$$\left(- x \left(x + 1\right) + \log{\left(5 \right)}\right) - 1 = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(- x \left(x + 1\right) + \log{\left(5 \right)}\right) - 1 = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$- x^{2} - x - 1 + \log{\left(5 \right)} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = -1$$
$$c = -1 + \log{\left(5 \right)}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (-1) * (-1 + log(5)) = -3 + 4*log(5)

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x \left(x + 1\right) + \log{\left(5 \right)} < 1$$
$$- \left(- \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2} - \frac{3}{5}\right) \left(\left(- \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2} - \frac{3}{5}\right) + 1\right) + \log{\left(5 \right)} < 1$$

  /        _______________\ /      _______________\             
  |  3   \/ -3 + 4*log(5) | |2   \/ -3 + 4*log(5) |             
- |- - - -----------------|*|- - -----------------| + log(5) < 1
  \  5           2        / \5           2        /             
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < - \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2} - \frac{1}{2}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < - \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3 + 4 \log{\left(5 \right)}}}{2}$$