log(5-x)x+1<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \log{\left(5 - x \right)} + 1 < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \log{\left(5 - x \right)} + 1 = 1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \log{\left(5 - x \right)} + 1 < 1$$
$$\frac{\left(-1\right) \log{\left(5 - - \frac{1}{10} \right)}}{10} + 1 < 1$$

       /51\    
    log|--|    
       \10/ < 1
1 - -------    
       10      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 0$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 0$$
$$x > 4$$