Sr Examen

log((x+1)/(x-1))>1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
   /x + 1\    
log|-----| > 1
   \x - 1/    
$$\log{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} > 1$$
log((x + 1)/(x - 1)) > 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\log{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} = 1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{1}{\tanh{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{\tanh{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{\tanh{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{\tanh{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{\tanh{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)} > 1$$
$$\log{\left(\frac{1 + \left(- \frac{1}{10} + \frac{1}{\tanh{\left(\frac{1}{2} \right)}}\right)}{-1 + \left(- \frac{1}{10} + \frac{1}{\tanh{\left(\frac{1}{2} \right)}}\right)} \right)} > 1$$
   / 9        1     \    
   | -- + --------- |    
   | 10   tanh(1/2) |    
log|----------------| > 1
   |  11       1    |    
   |- -- + ---------|    
   \  10   tanh(1/2)/    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{1}{\tanh{\left(\frac{1}{2} \right)}}$$
 _____          
      \    
-------ο-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida [src]
   /           1 + E \
And|1 < x, x < ------|
   \           -1 + E/
$$1 < x \wedge x < \frac{1 + e}{-1 + e}$$
(1 < x)∧(x < (1 + E)/(-1 + E))
Respuesta rápida 2 [src]
    -(1 + E)  
(1, ---------)
      1 - E   
$$x\ in\ \left(1, - \frac{1 + e}{1 - e}\right)$$
x in Interval.open(1, -(1 + E)/(1 - E))