Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(x^{2} \right)}}{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}} > 0$$
$$\frac{\log{\left(\left(- \frac{11}{10}\right)^{2} \right)}}{\log{\left(1 + \left(- \frac{11}{10}\right)^{2} \right)}} > 0$$
/121\
log|---|
\100/
-------- > 0
/221\
log|---|
\100/
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -1$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x1 x2
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -1$$
$$x > 1$$