cos(cot2*x-1)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cos{\left(\cot{\left(2 x \right)} - 1 \right)} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos{\left(\cot{\left(2 x \right)} - 1 \right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{\pi}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{3 \pi}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{\pi}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{3 \pi}{2} \right)}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{3 \pi}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{\pi}{2} \right)}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{3 \pi}{2} \right)}}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{3 \pi}{2} \right)}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos{\left(\cot{\left(2 x \right)} - 1 \right)} < 0$$
$$\cos{\left(\cot{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{3 \pi}{2} \right)}}{2}\right) \right)} - 1 \right)} < 0$$

   /       /1       /    3*pi\\\    
cos|1 + cot|- - acot|1 + ----||| < 0
   \       \5       \     2  ///    

pero

   /       /1       /    3*pi\\\    
cos|1 + cot|- - acot|1 + ----||| > 0
   \       \5       \     2  ///    

Entonces
$$x < \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{3 \pi}{2} \right)}}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{3 \pi}{2} \right)}}{2} \wedge x < \frac{\operatorname{acot}{\left(1 + \frac{\pi}{2} \right)}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1