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cos(x)>=sqrt2/2
Resolver desigualdades/ cos(x)>=sqrt2/2

cos(x)>=sqrt2/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
            ___
          \/ 2 
cos(x) >= -----
            2
cos⁡(x)≥22\cos{\left(x \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} 
cos(x) >= sqrt(2)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
cos⁡(x)≥22\cos{\left(x \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
cos⁡(x)=22\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
cos⁡(x)=22\cos{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
x=πn+acos⁡(22)x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
x=πn−π+acos⁡(22)x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
O
x=πn+π4x = \pi n + \frac{\pi}{4}
x=πn−3π4x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
x1=πn+π4x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}
x2=πn−3π4x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}
x1=πn+π4x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}
x2=πn−3π4x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}
Las raíces dadas
x1=πn+π4x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{4}
x2=πn−3π4x_{2} = \pi n - \frac{3 \pi}{4}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(πn+π4)+−110\left(\pi n + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}
=
πn−110+π4\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}
lo sustituimos en la expresión
cos⁡(x)≥22\cos{\left(x \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}
cos⁡(πn−110+π4)≥22\cos{\left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}
                           ___
   /  1    pi       \    \/ 2 
cos|- -- + -- + pi*n| >= -----
   \  10   4        /      2

pero
                          ___
   /  1    pi       \   \/ 2 
cos|- -- + -- + pi*n| < -----
   \  10   4        /     2

Entonces
x≤πn+π4x \leq \pi n + \frac{\pi}{4}
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≥πn+π4∧x≤πn−3π4x \geq \pi n + \frac{\pi}{4} \wedge x \leq \pi n - \frac{3 \pi}{4}
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
05-15-10-510152-2
Respuesta rápida 2 [src] 
    pi     7*pi       
[0, --] U [----, 2*pi]
    4       4
x in [0,π4]∪[7π4,2π]x\ in\ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{7 \pi}{4}, 2 \pi\right] 
x in Union(Interval(0, pi/4), Interval(7*pi/4, 2*pi))
Respuesta rápida [src] 
  /   /             pi\     /7*pi                \\
Or|And|0 <= x, x <= --|, And|---- <= x, x <= 2*pi||
  \   \             4 /     \ 4                  //
(0≤x∧x≤π4)∨(7π4≤x∧x≤2π)\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{4}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{4} \leq x \wedge x \leq 2 \pi\right) 
((0 <= x)∧(x <= pi/4))∨((7*pi/4 <= x)∧(x <= 2*pi))
Gráfico
cos(x)>=sqrt2/2 desigualdades
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