(x-3)*(x-4)/(x-5)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)}{x - 5} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)}{x - 5} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)}{x - 5} = 0$$
denominador
$$x - 5$$
entonces

x no es igual a 5

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 4 = 0$$
$$x - 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 4$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 4
2.
$$x - 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 3$$
Obtenemos la respuesta: x2 = 3
pero

x no es igual a 5

$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 3$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 3$$
=
$$\frac{29}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)}{x - 5} > 0$$
$$\frac{\left(-4 + \frac{29}{10}\right) \left(-3 + \frac{29}{10}\right)}{-5 + \frac{29}{10}} > 0$$

-11     
---- > 0
210     

Entonces
$$x < 3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 3 \wedge x < 4$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1