(x-3)(x-4)/x-5>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-5 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)}{x} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-5 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$-5 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} - 12 x + 12}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} - 12 x + 12 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} - 12 x + 12 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -12$$
$$c = 12$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-12)^2 - 4 * (1) * (12) = 96

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 2 \sqrt{6} + 6$$
$$x_{2} = 6 - 2 \sqrt{6}$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = 2 \sqrt{6} + 6$$
$$x_{2} = 6 - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{1} = 2 \sqrt{6} + 6$$
$$x_{2} = 6 - 2 \sqrt{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 6 - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{1} = 2 \sqrt{6} + 6$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(6 - 2 \sqrt{6}\right)$$
=
$$\frac{59}{10} - 2 \sqrt{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-5 + \frac{\left(x - 4\right) \left(x - 3\right)}{x} > 0$$
$$-5 + \frac{\left(-4 + \left(\frac{59}{10} - 2 \sqrt{6}\right)\right) \left(-3 + \left(\frac{59}{10} - 2 \sqrt{6}\right)\right)}{\frac{59}{10} - 2 \sqrt{6}} > 0$$

     /19       ___\ /29       ___\    
     |-- - 2*\/ 6 |*|-- - 2*\/ 6 |    
     \10          / \10          /    
-5 + ----------------------------- > 0
              59       ___            
              -- - 2*\/ 6             
              10                      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 6 - 2 \sqrt{6}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 6 - 2 \sqrt{6}$$
$$x > 2 \sqrt{6} + 6$$