(sqrt(3))^x+6‹1/9 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\sqrt{3}\right)^{x} + 6 < \frac{1}{9}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\sqrt{3}\right)^{x} + 6 = \frac{1}{9}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\sqrt{3}\right)^{x} + 6 = \frac{1}{9}$$
o
$$\left(\left(\sqrt{3}\right)^{x} + 6\right) - \frac{1}{9} = 0$$
o
$$3^{\frac{x}{2}} = - \frac{53}{9}$$
o
$$3^{\frac{x}{2}} = - \frac{53}{9}$$
- es la ecuación exponencial más simple
Sustituimos
$$v = 3^{\frac{x}{2}}$$
obtendremos
$$v + \frac{53}{9} = 0$$
o
$$v + \frac{53}{9} = 0$$
Transportamos los términos libres (sin v)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$v = - \frac{53}{9}$$
hacemos cambio inverso
$$3^{\frac{x}{2}} = v$$
o
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(\sqrt{3} \right)}}$$
$$x_{1} = - \frac{53}{9}$$
$$x_{1} = - \frac{53}{9}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{53}{9}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{53}{9} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{539}{90}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\sqrt{3}\right)^{x} + 6 < \frac{1}{9}$$
$$\left(\sqrt{3}\right)^{- \frac{539}{90}} + 6 < \frac{1}{9}$$

    180___      
     \/ 3       
6 + ------ < 1/9
      27        
      

pero

    180___      
     \/ 3       
6 + ------ > 1/9
      27        
      

Entonces
$$x < - \frac{53}{9}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > - \frac{53}{9}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1