sqrt2cos2x<=1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{2 \cos{\left(2 x \right)}} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{2 \cos{\left(2 x \right)}} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{2 \cos{\left(2 x \right)}} = 1$$
cambiamos
$$\sqrt{2} \sqrt{\cos{\left(2 x \right)}} - 1 = 0$$
$$\sqrt{2 \cos{\left(2 x \right)}} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(2 x \right)}$$
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{2} \sqrt{w} - 1 = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = 1/2 - no contiene número par en el numerador, entonces
la ecuación tendrá una raíz real.
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2:
Obtenemos:
$$\left(\sqrt{2 w}\right)^{2} = 1^{2}$$
o
$$2 w = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

w = 1 / (2)

Obtenemos la respuesta: w = 1/2

Entonces la respuesta definitiva es:
$$w_{1} = \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{2 \cos{\left(2 x \right)}} \leq 1$$
$$\sqrt{2 \cos{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}\right) \right)}} \leq 1$$

          _____________     
  ___    /    /1   pi\      
\/ 2 *  /  sin|- + --|  <= 1
      \/      \5   6 /      
     

pero

          _____________     
  ___    /    /1   pi\      
\/ 2 *  /  sin|- + --|  >= 1
      \/      \5   6 /      
     

Entonces
$$x \leq \frac{\pi}{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2