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Resolver desigualdades/ sqrt(2)*cos2x<=1

sqrt(2)*cos2x<=1 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
  ___              
\/ 2 *cos(2*x) <= 1
2cos⁡(2x)≤1\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} \leq 1 
sqrt(2)*cos(2*x) <= 1
Solución detallada
Se da la desigualdad:
2cos⁡(2x)≤1\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} \leq 1
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
2cos⁡(2x)=1\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} = 1
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
2cos⁡(2x)=1\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} = 1
es la ecuación trigonométrica más simple
Dividamos ambos miembros de la ecuación en sqrt(2)

La ecuación se convierte en
cos⁡(2x)=22\cos{\left(2 x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Esta ecuación se reorganiza en
2x=πn+acos⁡(22)2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
2x=πn−π+acos⁡(22)2 x = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}
O
2x=πn+π42 x = \pi n + \frac{\pi}{4}
2x=πn−3π42 x = \pi n - \frac{3 \pi}{4}
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
22
x1=πn2+π8x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}
x2=πn2−3π8x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}
x1=πn2+π8x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}
x2=πn2−3π8x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}
Las raíces dadas
x1=πn2+π8x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}
x2=πn2−3π8x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(πn2+π8)+−110\left(\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}\right) + - \frac{1}{10}
=
πn2−110+π8\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}
lo sustituimos en la expresión
2cos⁡(2x)≤1\sqrt{2} \cos{\left(2 x \right)} \leq 1
2cos⁡(2(πn2−110+π8))≤1\sqrt{2} \cos{\left(2 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{8}\right) \right)} \leq 1
  ___    /  1   pi       \     
\/ 2 *cos|- - + -- + pi*n| <= 1
         \  5   4        /

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≤πn2+π8x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≤πn2+π8x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{8}
x≥πn2−3π8x \geq \frac{\pi n}{2} - \frac{3 \pi}{8}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-70-60-50-40-30-20-10102030405060705-5
Respuesta rápida 2 [src] 
     /   ___________\           /   ___________\ 
     |  /       ___ |           |  /       ___ | 
     |\/  2 - \/ 2  |           |\/  2 - \/ 2  | 
[atan|--------------|, pi - atan|--------------|]
     |   ___________|           |   ___________| 
     |  /       ___ |           |  /       ___ | 
     \\/  2 + \/ 2  /           \\/  2 + \/ 2  /
x in [atan⁡(2−22+2),π−atan⁡(2−22+2)]x\ in\ \left[\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}, \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)}\right] 
x in Interval(atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(sqrt(2) + 2)), pi - atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(sqrt(2) + 2)))
Respuesta rápida [src] 
   /              /   ___________\      /   ___________\     \
   |              |  /       ___ |      |  /       ___ |     |
   |              |\/  2 - \/ 2  |      |\/  2 - \/ 2  |     |
And|x <= pi - atan|--------------|, atan|--------------| <= x|
   |              |   ___________|      |   ___________|     |
   |              |  /       ___ |      |  /       ___ |     |
   \              \\/  2 + \/ 2  /      \\/  2 + \/ 2  /     /
x≤π−atan⁡(2−22+2)∧atan⁡(2−22+2)≤xx \leq \pi - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} \wedge \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{2} + 2}} \right)} \leq x 
(atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(2 + sqrt(2))) <= x)∧(x <= pi - atan(sqrt(2 - sqrt(2))/sqrt(2 + sqrt(2))))
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