sqrt(2x+5)+sqrt(x-1)>8 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{2 x + 5} > 8$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{2 x + 5} = 8$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{2 x + 5} = 8$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{2 x + 5}\right)^{2} = 64$$
o
$$1^{2} \left(2 x + 5\right) + \left(2 \sqrt{\left(x - 1\right) \left(2 x + 5\right)} + 1^{2} \left(x - 1\right)\right) = 64$$
o
$$3 x + 2 \sqrt{2 x^{2} + 3 x - 5} + 4 = 64$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{2 x^{2} + 3 x - 5} = 60 - 3 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$8 x^{2} + 12 x - 20 = \left(60 - 3 x\right)^{2}$$
$$8 x^{2} + 12 x - 20 = 9 x^{2} - 360 x + 3600$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 372 x - 3620 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 372$$
$$c = -3620$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(372)^2 - 4 * (-1) * (-3620) = 123904

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 10$$
$$x_{2} = 362$$

Como
$$\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 5} = 30 - \frac{3 x}{2}$$
y
$$\sqrt{2 x^{2} + 3 x - 5} \geq 0$$
entonces
$$30 - \frac{3 x}{2} \geq 0$$
o
$$x \leq 20$$
$$-\infty < x$$
$$x_{1} = 10$$
comprobamos:
$$x_{1} = 10$$
$$\sqrt{x_{1} - 1} + \sqrt{2 x_{1} + 5} - 8 = 0$$
=
$$-8 + \left(\sqrt{-1 + 10} + \sqrt{5 + 2 \cdot 10}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = 10$$
$$x_{1} = 10$$
$$x_{1} = 10$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 10$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 10$$
=
$$\frac{99}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{2 x + 5} > 8$$
$$\sqrt{-1 + \frac{99}{10}} + \sqrt{5 + \frac{2 \cdot 99}{10}} > 8$$

  _____       _____    
\/ 890    2*\/ 155     
------- + --------- > 8
   10         5        
    

Entonces
$$x < 10$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > 10$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1