x-4*sqrt(x+4)-1<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 4 \sqrt{x + 4}\right) - 1 < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 4 \sqrt{x + 4}\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(x - 4 \sqrt{x + 4}\right) - 1 = 0$$
$$- 4 \sqrt{x + 4} = 1 - x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$16 x + 64 = \left(1 - x\right)^{2}$$
$$16 x + 64 = x^{2} - 2 x + 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} + 18 x + 63 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = 18$$
$$c = 63$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(18)^2 - 4 * (-1) * (63) = 576

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 21$$

Como
$$\sqrt{x + 4} = \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$$
y
$$\sqrt{x + 4} \geq 0$$
entonces
$$\frac{x}{4} - \frac{1}{4} \geq 0$$
o
$$1 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{2} = 21$$
$$x_{1} = 21$$
$$x_{1} = 21$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 21$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 21$$
=
$$\frac{209}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 4 \sqrt{x + 4}\right) - 1 < 0$$
$$-1 + \left(\frac{209}{10} - 4 \sqrt{4 + \frac{209}{10}}\right) < 0$$

          ______    
199   2*\/ 2490     
--- - ---------- < 0
 10       5         
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 21$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1