cos^2(2x)-2cos(2x)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
cambiamos
$$4 \sin^{4}{\left(x \right)} - 1 = 0$$
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(2 x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -2$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-2)^2 - 4 * (1) * (0) = 4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = 2$$
$$w_{2} = 0$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(2 x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$2 x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
sustituimos w:
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(2 \right)}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(2 \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(0 \right)}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(2 \right)}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(2 \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}}{2} - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{2} + \frac{\operatorname{acos}{\left(0 \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\pi n}{2} - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{3} = \pi - \frac{\operatorname{acos}{\left(2 \right)}}{2}$$
$$x_{4} = \frac{\operatorname{acos}{\left(2 \right)}}{2}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\cos^{2}{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)} > 0$$
$$- 2 \cos{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}\right) \right)} + \cos^{2}{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}\right) \right)} > 0$$

   2                      
sin (1/5) - 2*sin(1/5) > 0
    

Entonces
$$x < \frac{\pi}{4}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{\pi}{4} \wedge x < \frac{3 \pi}{4}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2