log(1/2)((4+x)/(x-1))>2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x + 4}{x - 1} \log{\left(\frac{1}{2} \right)} > 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x + 4}{x - 1} \log{\left(\frac{1}{2} \right)} = 2$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x + 4}{x - 1} \log{\left(\frac{1}{2} \right)} = 2$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$- \frac{x \log{\left(2 \right)} + 2 x - 2 + 4 \log{\left(2 \right)}}{x - 1} = 0$$
denominador
$$x - 1$$
entonces

x no es igual a 1

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x \left(-2 - \log{\left(2 \right)}\right) - 4 \log{\left(2 \right)} + 2 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x \left(-2 - \log{\left(2 \right)}\right) - 4 \log{\left(2 \right)} + 2 = 0$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

2 - 4*log2 + x-2+log+2) = 0

Sumamos los términos semejantes en el miembro izquierdo de la ecuación:

2 - 4*log(2) + x*(-2 - log(2)) = 0

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x \left(-2 - \log{\left(2 \right)}\right) - 4 \log{\left(2 \right)} = -2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-4*log(2) + x*(-2 - log(2)))/x

x = -2 / ((-4*log(2) + x*(-2 - log(2)))/x)

Obtenemos la respuesta: x1 = 2*(1 - 2*log(2))/(2 + log(2))
pero

x no es igual a 1

$$x_{1} = \frac{2 \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)} + 2}$$
$$x_{1} = \frac{2 \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)} + 2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{2 \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)} + 2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)} + 2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)} + 2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x + 4}{x - 1} \log{\left(\frac{1}{2} \right)} > 2$$
$$\frac{\left(\frac{2 \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)} + 2} - \frac{1}{10}\right) + 4}{-1 + \left(\frac{2 \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)} + 2} - \frac{1}{10}\right)} \log{\left(\frac{1}{2} \right)} > 2$$

 /39   2*(1 - 2*log(2))\            
-|-- + ----------------|*log(2)     
 \10      2 + log(2)   /            
-------------------------------- > 2
      11   2*(1 - 2*log(2))         
    - -- + ----------------         
      10      2 + log(2)            

Entonces
$$x < \frac{2 \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)} + 2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > \frac{2 \left(1 - 2 \log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)} + 2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1