|x-3|+|x+7|<=8 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{x - 3}\right| + \left|{x + 7}\right| \leq 8$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{x - 3}\right| + \left|{x + 7}\right| = 8$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 3 \geq 0$$
$$x + 7 \geq 0$$
o
$$3 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 3\right) + \left(x + 7\right) - 8 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$2 x - 4 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 2$$
pero x1 no satisface a la desigualdad

2.
$$x - 3 \geq 0$$
$$x + 7 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 3 < 0$$
$$x + 7 \geq 0$$
o
$$-7 \leq x \wedge x < 3$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - x\right) + \left(x + 7\right) - 8 = 0$$
simplificamos, obtenemos
incorrecto
la resolución en este intervalo:

4.
$$x - 3 < 0$$
$$x + 7 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -7$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 - x\right) + \left(- x - 7\right) - 8 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 2 x - 12 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = -6$$
pero x2 no satisface a la desigualdad


Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$\left|{-3}\right| + \left|{7}\right| \leq 8$$

10 <= 8

pero

10 >= 8

signo desigualdades no tiene soluciones