sqrt(x^2+5x+6)<=-0.1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 6} \leq - \frac{1}{10}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 6} = - \frac{1}{10}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sqrt{\left(x^{2} + 5 x\right) + 6} = - \frac{1}{10}$$
$$\sqrt{x^{2} + 5 x + 6} = - \frac{1}{10}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x^{2} + 5 x + 6 = \frac{1}{100}$$
$$x^{2} + 5 x + 6 = \frac{1}{100}$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$x^{2} + 5 x + \frac{599}{100} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 5$$
$$c = \frac{599}{100}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (1) * (599/100) = 26/25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{26}}{10}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{26}}{10}$$

Como
$$\sqrt{x^{2} + 5 x + 6} = - \frac{1}{10}$$
y
$$\sqrt{x^{2} + 5 x + 6} \geq 0$$
entonces
$$- \frac{1}{10} \geq 0$$
Entonces la respuesta definitiva es:
Esta ecuación no tiene soluciones
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$\sqrt{\left(0^{2} + 0 \cdot 5\right) + 6} \leq - \frac{1}{10}$$

  ___         
\/ 6  <= -1/10
         

pero

  ___         
\/ 6  >= -1/10
         

signo desigualdades no tiene soluciones