3/2-(x+1)*sqrt3+(x+1)*sqrt(3)-1/(x+1)*sqrt(3)-3>=3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(\sqrt{3} \left(x + 1\right) + \left(- \sqrt{3} \left(x + 1\right) + \frac{3}{2}\right)\right) - \frac{\sqrt{3}}{x + 1}\right) - 3 \geq 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(\sqrt{3} \left(x + 1\right) + \left(- \sqrt{3} \left(x + 1\right) + \frac{3}{2}\right)\right) - \frac{\sqrt{3}}{x + 1}\right) - 3 = 3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(\left(\sqrt{3} \left(x + 1\right) + \left(- \sqrt{3} \left(x + 1\right) + \frac{3}{2}\right)\right) - \frac{\sqrt{3}}{x + 1}\right) - 3 = 3$$
Usamos la regla de proporciones:
De a1/b1 = a2/b2 se deduce a1*b2 = a2*b1,
En nuestro caso

a1 = -sqrt(3)

b1 = 1 + x

a2 = 1

b2 = 2/9

signo obtendremos la ecuación
$$\frac{2 \left(- \sqrt{3}\right)}{9} = x + 1$$
$$- \frac{2 \sqrt{3}}{9} = x + 1$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-2*sqrt3/9 = 1 + x

Transportamos los términos con la incógnita x
del miembro derecho al izquierdo:
$$- x - \frac{2 \sqrt{3}}{9} = 1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en (-x - 2*sqrt(3)/9)/x

x = 1 / ((-x - 2*sqrt(3)/9)/x)

Obtenemos la respuesta: x = -1 - 2*sqrt(3)/9
$$x_{1} = -1 - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$$
$$x_{1} = -1 - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -1 - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(-1 - \frac{2 \sqrt{3}}{9}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10} - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(\sqrt{3} \left(x + 1\right) + \left(- \sqrt{3} \left(x + 1\right) + \frac{3}{2}\right)\right) - \frac{\sqrt{3}}{x + 1}\right) - 3 \geq 3$$
$$-3 + \left(\left(\sqrt{3} \left(\left(- \frac{11}{10} - \frac{2 \sqrt{3}}{9}\right) + 1\right) + \left(- \sqrt{3} \left(\left(- \frac{11}{10} - \frac{2 \sqrt{3}}{9}\right) + 1\right) + \frac{3}{2}\right)\right) - \frac{\sqrt{3}}{\left(- \frac{11}{10} - \frac{2 \sqrt{3}}{9}\right) + 1}\right) \geq 3$$

            ___          
  3       \/ 3           
- - - --------------     
  2              ___ >= 3
        1    2*\/ 3      
      - -- - -------     
        10      9        

pero

            ___         
  3       \/ 3          
- - - --------------    
  2              ___ < 3
        1    2*\/ 3     
      - -- - -------    
        10      9       

Entonces
$$x \leq -1 - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq -1 - \frac{2 \sqrt{3}}{9}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1