sqrt(x+7)-x-1>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- x + \sqrt{x + 7}\right) - 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- x + \sqrt{x + 7}\right) - 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(- x + \sqrt{x + 7}\right) - 1 = 0$$
$$\sqrt{x + 7} = x + 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$x + 7 = \left(x + 1\right)^{2}$$
$$x + 7 = x^{2} + 2 x + 1$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- x^{2} - x + 6 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = -1$$
$$c = 6$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (-1) * (6) = 25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 2$$

Como
$$\sqrt{x + 7} = x + 1$$
y
$$\sqrt{x + 7} \geq 0$$
entonces
$$x + 1 \geq 0$$
o
$$-1 \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- x + \sqrt{x + 7}\right) - 1 > 0$$
$$-1 + \left(- \frac{19}{10} + \sqrt{\frac{19}{10} + 7}\right) > 0$$

         _____    
  29   \/ 890     
- -- + ------- > 0
  10      10      
    

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < 2$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1