log2(4x)>3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(4 x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} > 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(4 x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\log{\left(4 x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 3$$
$$\frac{\log{\left(4 x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 3$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(2)
$$\log{\left(4 x \right)} = 3 \log{\left(2 \right)}$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$4 x = e^{\frac{3}{\frac{1}{\log{\left(2 \right)}}}}$$
simplificamos
$$4 x = 8$$
$$x = 2$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 2$$
=
$$\frac{19}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(4 x \right)}}{\log{\left(2 \right)}} > 3$$
$$\frac{\log{\left(\frac{4 \cdot 19}{10} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} > 3$$

log(38/5)    
--------- > 3
  log(2)     

Entonces
$$x < 2$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > 2$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1