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Resolver desigualdades/ sqrt(x+3)+sqrt(x-2)-sqrt(2x+4)>0

sqrt(x+3)+sqrt(x-2)-sqrt(2x+4)>0 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
  _______     _______     _________    
\/ x + 3  + \/ x - 2  - \/ 2*x + 4  > 0
−2x+4+(x−2+x+3)>0- \sqrt{2 x + 4} + \left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\right) > 0 
-sqrt(2*x + 4) + sqrt(x - 2) + sqrt(x + 3) > 0
Solución detallada
Se da la desigualdad:
−2x+4+(x−2+x+3)>0- \sqrt{2 x + 4} + \left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\right) > 0
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
−2x+4+(x−2+x+3)=0- \sqrt{2 x + 4} + \left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\right) = 0
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
−2x+4+(x−2+x+3)=0- \sqrt{2 x + 4} + \left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\right) = 0
cambiamos:
x−2+x+3=2x+4\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3} = \sqrt{2 x + 4}
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
(x−2+x+3)2=2x+4\left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\right)^{2} = 2 x + 4
o
12(x+3)+(2(x−2)(x+3)+12(x−2))=2x+41^{2} \left(x + 3\right) + \left(2 \sqrt{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)} + 1^{2} \left(x - 2\right)\right) = 2 x + 4
o
2x+2x2+x−6+1=2x+42 x + 2 \sqrt{x^{2} + x - 6} + 1 = 2 x + 4
cambiamos:
2x2+x−6=32 \sqrt{x^{2} + x - 6} = 3
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
4x2+4x−24=94 x^{2} + 4 x - 24 = 9
4x2+4x−24=94 x^{2} + 4 x - 24 = 9
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
4x2+4x−33=04 x^{2} + 4 x - 33 = 0
Es la ecuación de la forma
a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
x1=D−b2ax_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}
x2=−D−b2ax_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
a=4a = 4
b=4b = 4
c=−33c = -33
, entonces
D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (4) * (-33) = 544

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.
x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
x1=−12+342x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}
x2=−342−12x_{2} = - \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}

Como
x2+x−6=32\sqrt{x^{2} + x - 6} = \frac{3}{2}
y
x2+x−6≥0\sqrt{x^{2} + x - 6} \geq 0
entonces
32≥0\frac{3}{2} \geq 0
x1=−12+342x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}
x2=−342−12x_{2} = - \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}
comprobamos:
x1=−12+342x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}
x1−2+x1+3−2x1+4=0\sqrt{x_{1} - 2} + \sqrt{x_{1} + 3} - \sqrt{2 x_{1} + 4} = 0
=
−4+2(−12+342)+(−2+(−12+342)+(−12+342)+3)=0- \sqrt{4 + 2 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right)} + \left(\sqrt{-2 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right)} + \sqrt{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right) + 3}\right) = 0
=
0 = 0

- la igualdad
x2=−342−12x_{2} = - \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}
x2−2+x2+3−2x2+4=0\sqrt{x_{2} - 2} + \sqrt{x_{2} + 3} - \sqrt{2 x_{2} + 4} = 0
=
−2(−342−12)+4+((−342−12)+3+(−342−12)−2)=0- \sqrt{2 \left(- \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}\right) + 4} + \left(\sqrt{\left(- \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}\right) + 3} + \sqrt{\left(- \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}\right) - 2}\right) = 0
=
sqrt(-5/2 - sqrt(34)/2) + sqrt(5/2 - sqrt(34)/2) - sqrt(3 - sqrt(34)) = 0

- No
Entonces la respuesta definitiva es:
x1=−12+342x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}
x1=−12+342x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}
x1=−12+342x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}
Las raíces dadas
x1=−12+342x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0<x1x_{0} < x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
−110+(−12+342)- \frac{1}{10} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right)
=
−35+342- \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{34}}{2}
lo sustituimos en la expresión
−2x+4+(x−2+x+3)>0- \sqrt{2 x + 4} + \left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\right) > 0
−4+2(−35+342)+(−2+(−35+342)+(−35+342)+3)>0- \sqrt{4 + 2 \left(- \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right)} + \left(\sqrt{-2 + \left(- \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right)} + \sqrt{\left(- \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right) + 3}\right) > 0
     _______________        _____________                        
    /          ____        /        ____        _____________    
   /    13   \/ 34        /  12   \/ 34        / 14     ____  > 0
  /   - -- + ------  +   /   -- + ------  -   /  -- + \/ 34      
\/      5      2       \/    5      2       \/   5

Entonces
x<−12+342x < - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
x>−12+342x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}
         _____  
        /
-------ο-------
       x1
Solución de la desigualdad en el gráfico
0123456789-5-4-3-2-12.5-2.5
Respuesta rápida [src] 
   /                ____    \
   |          1   \/ 34     |
And|x < oo, - - + ------ < x|
   \          2     2       /
x<∞∧−12+342<xx < \infty \wedge - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2} < x 
(x < oo)∧(-1/2 + sqrt(34)/2 < x)
Respuesta rápida 2 [src] 
         ____     
   1   \/ 34      
(- - + ------, oo)
   2     2
x in (−12+342,∞)x\ in\ \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}, \infty\right) 
x in Interval.open(-1/2 + sqrt(34)/2, oo)
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