sqrt(x+3)+sqrt(x-2)-sqrt(2x+4)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \sqrt{2 x + 4} + \left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \sqrt{2 x + 4} + \left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$- \sqrt{2 x + 4} + \left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\right) = 0$$
cambiamos:
$$\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3} = \sqrt{2 x + 4}$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\right)^{2} = 2 x + 4$$
o
$$1^{2} \left(x + 3\right) + \left(2 \sqrt{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)} + 1^{2} \left(x - 2\right)\right) = 2 x + 4$$
o
$$2 x + 2 \sqrt{x^{2} + x - 6} + 1 = 2 x + 4$$
cambiamos:
$$2 \sqrt{x^{2} + x - 6} = 3$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$4 x^{2} + 4 x - 24 = 9$$
$$4 x^{2} + 4 x - 24 = 9$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$4 x^{2} + 4 x - 33 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 4$$
$$b = 4$$
$$c = -33$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(4)^2 - 4 * (4) * (-33) = 544

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}$$

Como
$$\sqrt{x^{2} + x - 6} = \frac{3}{2}$$
y
$$\sqrt{x^{2} + x - 6} \geq 0$$
entonces
$$\frac{3}{2} \geq 0$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}$$
comprobamos:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}$$
$$\sqrt{x_{1} - 2} + \sqrt{x_{1} + 3} - \sqrt{2 x_{1} + 4} = 0$$
=
$$- \sqrt{4 + 2 \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right)} + \left(\sqrt{-2 + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right)} + \sqrt{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right) + 3}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$\sqrt{x_{2} - 2} + \sqrt{x_{2} + 3} - \sqrt{2 x_{2} + 4} = 0$$
=
$$- \sqrt{2 \left(- \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}\right) + 4} + \left(\sqrt{\left(- \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}\right) + 3} + \sqrt{\left(- \frac{\sqrt{34}}{2} - \frac{1}{2}\right) - 2}\right) = 0$$
=

sqrt(-5/2 - sqrt(34)/2) + sqrt(5/2 - sqrt(34)/2) - sqrt(3 - sqrt(34)) = 0

- No
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right)$$
=
$$- \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{34}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \sqrt{2 x + 4} + \left(\sqrt{x - 2} + \sqrt{x + 3}\right) > 0$$
$$- \sqrt{4 + 2 \left(- \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right)} + \left(\sqrt{-2 + \left(- \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right)} + \sqrt{\left(- \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{34}}{2}\right) + 3}\right) > 0$$

     _______________        _____________                        
    /          ____        /        ____        _____________    
   /    13   \/ 34        /  12   \/ 34        / 14     ____  > 0
  /   - -- + ------  +   /   -- + ------  -   /  -- + \/ 34      
\/      5      2       \/    5      2       \/   5               

Entonces
$$x < - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{34}}{2}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1