x(x-4)/(2x+3)(7-x)=>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x \left(x - 4\right)}{2 x + 3} \left(7 - x\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x \left(x - 4\right)}{2 x + 3} \left(7 - x\right) = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 7$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 7$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = 7$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x \left(x - 4\right)}{2 x + 3} \left(7 - x\right) \geq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{1}{10}\right) \left(-4 + - \frac{1}{10}\right)}{\frac{\left(-1\right) 2}{10} + 3} \left(7 - - \frac{1}{10}\right) \geq 0$$

2911     
---- >= 0
2800     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 0$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 0$$
$$x \geq 4 \wedge x \leq 7$$