log(x)/log(3/5)>1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(\frac{3}{5} \right)}} > \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(\frac{3}{5} \right)}} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(\frac{3}{5} \right)}} = \frac{1}{2}$$
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(\frac{3}{5} \right)}} = \frac{1}{2}$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de log =1/log(3/5)
$$\log{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\frac{3}{5} \right)}}{2}$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$x = e^{\frac{1}{2 \frac{1}{\log{\left(\frac{3}{5} \right)}}}}$$
simplificamos
$$x = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{15}}{5}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{15}}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(\frac{3}{5} \right)}} > \frac{1}{2}$$
$$\frac{\log{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\sqrt{15}}{5} \right)}}{\log{\left(\frac{3}{5} \right)}} > \frac{1}{2}$$

   /         ____\      
   |  1    \/ 15 |      
log|- -- + ------|      
   \  10     5   / > 1/2
------------------      
     log(3/5)           
      

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{\sqrt{15}}{5}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1