6*sin(4*x+pi/6)>=3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$6 \sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} \geq 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$6 \sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} = 3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$6 \sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} = 3$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 6

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$4 x + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$4 x + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$4 x + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$4 x + \frac{\pi}{6} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{6}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$4 x = 2 \pi n$$
$$4 x = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$4$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$6 \sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} \geq 3$$
$$6 \sin{\left(4 \left(\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10}\right) + \frac{\pi}{6} \right)} \geq 3$$

     /  2   pi         \     
6*sin|- - + -- + 2*pi*n| >= 3
     \  5   6          /     

pero

     /  2   pi         \    
6*sin|- - + -- + 2*pi*n| < 3
     \  5   6          /    

Entonces
$$x \leq \frac{\pi n}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{\pi n}{2} \wedge x \leq \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2