sin(x)<=√2/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \frac{\pi}{4}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(x \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$$

                             ___
   /  1    pi         \    \/ 2 
sin|- -- + -- + 2*pi*n| <= -----
   \  10   4          /      2  
                           

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$x \geq 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$