2sin(2x)<=1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \sin{\left(2 x \right)} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sin{\left(2 x \right)} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sin{\left(2 x \right)} = 1$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(2 x \right)} = \frac{1}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$2 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$2 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$2 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$2 x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$2$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{12}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{12}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{5 \pi}{12}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\pi n + \frac{\pi}{12}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sin{\left(2 x \right)} \leq 1$$
$$2 \sin{\left(2 \left(\pi n - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}\right) \right)} \leq 1$$

     /  1   pi         \     
2*sin|- - + -- + 2*pi*n| <= 1
     \  5   6          /     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{12}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq \pi n + \frac{\pi}{12}$$
$$x \geq \pi n + \frac{5 \pi}{12}$$