2*sin^2(x)+sqrt(3)*sin(x)-3>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(x \right)}\right) - 3 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(x \right)}\right) - 3 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(x \right)}\right) - 3 = 0$$
cambiamos
$$\sqrt{3} \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(x \right)}\right) - 3 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = \sqrt{3}$$
$$c = -3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(sqrt(3))^2 - 4 * (2) * (-3) = 27

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$w_{2} = - \sqrt{3}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(- \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(- \sqrt{3} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \pi + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} \right)}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi + \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} \right)}$$
$$x_{4} = - \operatorname{asin}{\left(\sqrt{3} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 \sin^{2}{\left(x \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(x \right)}\right) - 3 > 0$$
$$-3 + \left(2 \sin^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right)} + \sqrt{3} \sin{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right)}\right) > 0$$

          2/1    pi\     ___    /1    pi\    
-3 + 2*cos |-- + --| + \/ 3 *cos|-- + --| > 0
           \10   6 /            \10   6 /    

Entonces
$$x < \frac{\pi}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{\pi}{3} \wedge x < \frac{2 \pi}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2