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Resolver desigualdades/ sin(3*x-pi/5)<=sqrt(3)/2

sin(3*x-pi/5)<=sqrt(3)/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src] 
                   ___
   /      pi\    \/ 3 
sin|3*x - --| <= -----
   \      5 /      2
sin⁡(3x−π5)≤32\sin{\left(3 x - \frac{\pi}{5} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2} 
sin(3*x - pi/5) <= sqrt(3)/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
sin⁡(3x−π5)≤32\sin{\left(3 x - \frac{\pi}{5} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
sin⁡(3x−π5)=32\sin{\left(3 x - \frac{\pi}{5} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
sin⁡(3x−π5)=32\sin{\left(3 x - \frac{\pi}{5} \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
es la ecuación trigonométrica más simple
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

La ecuación se convierte en
cos⁡(3x+3π10)=−32\cos{\left(3 x + \frac{3 \pi}{10} \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}
Esta ecuación se reorganiza en
3x+3π10=πn+acos⁡(−32)3 x + \frac{3 \pi}{10} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
3x+3π10=πn−π+acos⁡(−32)3 x + \frac{3 \pi}{10} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}
O
3x+3π10=πn+5π63 x + \frac{3 \pi}{10} = \pi n + \frac{5 \pi}{6}
3x+3π10=πn−π63 x + \frac{3 \pi}{10} = \pi n - \frac{\pi}{6}
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
3π10\frac{3 \pi}{10}
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
3x=πn+8π153 x = \pi n + \frac{8 \pi}{15}
3x=πn−7π153 x = \pi n - \frac{7 \pi}{15}
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
33
x1=πn3+8π45x_{1} = \frac{\pi n}{3} + \frac{8 \pi}{45}
x2=πn3−7π45x_{2} = \frac{\pi n}{3} - \frac{7 \pi}{45}
x1=πn3+8π45x_{1} = \frac{\pi n}{3} + \frac{8 \pi}{45}
x2=πn3−7π45x_{2} = \frac{\pi n}{3} - \frac{7 \pi}{45}
Las raíces dadas
x1=πn3+8π45x_{1} = \frac{\pi n}{3} + \frac{8 \pi}{45}
x2=πn3−7π45x_{2} = \frac{\pi n}{3} - \frac{7 \pi}{45}
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
x0≤x1x_{0} \leq x_{1}
Consideremos, por ejemplo, el punto
x0=x1−110x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}
=
(πn3+8π45)+−110\left(\frac{\pi n}{3} + \frac{8 \pi}{45}\right) + - \frac{1}{10}
=
πn3−110+8π45\frac{\pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{8 \pi}{45}
lo sustituimos en la expresión
sin⁡(3x−π5)≤32\sin{\left(3 x - \frac{\pi}{5} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(3(πn3−110+8π45)−π5)≤32\sin{\left(3 \left(\frac{\pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{8 \pi}{45}\right) - \frac{\pi}{5} \right)} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}
                           ___
   /  3    pi       \    \/ 3 
sin|- -- + -- + pi*n| <= -----
   \  10   3        /      2

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
x≤πn3+8π45x \leq \frac{\pi n}{3} + \frac{8 \pi}{45}
 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
x≤πn3+8π45x \leq \frac{\pi n}{3} + \frac{8 \pi}{45}
x≥πn3−7π45x \geq \frac{\pi n}{3} - \frac{7 \pi}{45}
Solución de la desigualdad en el gráfico
0-80-60-40-20204060802-2
Respuesta rápida [src] 
  /   /                   /                           ______________      _______________                                                                               \\     /                  /                         ______________      _______________                                                                               \     \\
  |   |                   |                          /          ___      /           ___                                _____________________________________           ||     |                  |                        /          ___      /           ___                                _____________________________________           |     ||
  |   |                   |                  ___   \/  10 - 2*\/ 5     \/  50 - 10*\/ 5                                /                         ___________            ||     |                  |                ___   \/  10 - 2*\/ 5     \/  50 - 10*\/ 5                                /                         ___________            |     ||
  |   |                   |          2 + 2*\/ 5  - ----------------- - ------------------                       ___   /         ___       ___   /       ___             ||     |                  |        2 + 2*\/ 5  - ----------------- - ------------------                       ___   /         ___       ___   /       ___             |     ||
  |   |                   |                                2                   2                              \/ 2 *\/   13 - \/ 5  - 4*\/ 2 *\/  5 - \/ 5              ||     |                  |                              2                   2                              \/ 2 *\/   13 - \/ 5  - 4*\/ 2 *\/  5 - \/ 5              |     ||
  |   |             2*atan|- -------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------||     |           -2*atan|-------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------|     ||
  |   |                   |                                  ___________              ___________                                   ___________              ___________||     |                  |                                ___________              ___________                                   ___________              ___________|     ||
  |   |                   |         ___       ___     ___   /       ___        ___   /       ___           ___       ___     ___   /       ___        ___   /       ___ ||     |                  |       ___       ___     ___   /       ___        ___   /       ___           ___       ___     ___   /       ___        ___   /       ___ |     ||
  |   |                   \  -5 + \/ 5  - 4*\/ 3  + \/ 6 *\/  5 - \/ 5   + 2*\/ 2 *\/  5 - \/ 5     -5 + \/ 5  - 4*\/ 3  + \/ 6 *\/  5 - \/ 5   + 2*\/ 2 *\/  5 - \/ 5  /|     |     2*pi         \-5 + \/ 5  - 4*\/ 3  + \/ 6 *\/  5 - \/ 5   + 2*\/ 2 *\/  5 - \/ 5     -5 + \/ 5  - 4*\/ 3  + \/ 6 *\/  5 - \/ 5   + 2*\/ 2 *\/  5 - \/ 5  /     ||
Or|And|0 <= x, x <= -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|, And|x <= ----, ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- <= x||
  \   \                                                                                       3                                                                          /     \      3                                                                             3                                                                               //
(0≤x∧x≤2atan⁡(2−425−5−5+13−43−5+5+65−5+225−5−−50−1052−10−252+2+25−43−5+5+65−5+225−5)3)∨(x≤2π3∧−2atan⁡(−50−1052−10−252+2+25−43−5+5+65−5+225−5+2−425−5−5+13−43−5+5+65−5+225−5)3≤x)\left(0 \leq x \wedge x \leq \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- 4 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{5} + 13}}{- 4 \sqrt{3} - 5 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + 2 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} - \frac{- \frac{\sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}}{2} - \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{2} + 2 + 2 \sqrt{5}}{- 4 \sqrt{3} - 5 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + 2 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}}{3}\right) \vee \left(x \leq \frac{2 \pi}{3} \wedge - \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \frac{\sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}}{2} - \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{2} + 2 + 2 \sqrt{5}}{- 4 \sqrt{3} - 5 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + 2 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- 4 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{5} + 13}}{- 4 \sqrt{3} - 5 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + 2 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}}{3} \leq x\right) 
((0 <= x)∧(x <= 2*atan(-(2 + 2*sqrt(5) - sqrt(10 - 2*sqrt(5))/2 - sqrt(50 - 10*sqrt(5))/2)/(-5 + sqrt(5) - 4*sqrt(3) + sqrt(6)*sqrt(5 - sqrt(5)) + 2*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5))) + sqrt(2)*sqrt(13 - sqrt(5) - 4*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5)))/(-5 + sqrt(5) - 4*sqrt(3) + sqrt(6)*sqrt(5 - sqrt(5)) + 2*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5))))/3))∨((x <= 2*pi/3)∧(-2*atan((2 + 2*sqrt(5) - sqrt(10 - 2*sqrt(5))/2 - sqrt(50 - 10*sqrt(5))/2)/(-5 + sqrt(5) - 4*sqrt(3) + sqrt(6)*sqrt(5 - sqrt(5)) + 2*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5))) + sqrt(2)*sqrt(13 - sqrt(5) - 4*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5)))/(-5 + sqrt(5) - 4*sqrt(3) + sqrt(6)*sqrt(5 - sqrt(5)) + 2*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5))))/3 <= x))
Respuesta rápida 2 [src] 
          /                           ______________      _______________                                                                               \            /                         ______________      _______________                                                                               \       
          |                          /          ___      /           ___                                _____________________________________           |            |                        /          ___      /           ___                                _____________________________________           |       
          |                  ___   \/  10 - 2*\/ 5     \/  50 - 10*\/ 5                                /                         ___________            |            |                ___   \/  10 - 2*\/ 5     \/  50 - 10*\/ 5                                /                         ___________            |       
          |          2 + 2*\/ 5  - ----------------- - ------------------                       ___   /         ___       ___   /       ___             |            |        2 + 2*\/ 5  - ----------------- - ------------------                       ___   /         ___       ___   /       ___             |       
          |                                2                   2                              \/ 2 *\/   13 - \/ 5  - 4*\/ 2 *\/  5 - \/ 5              |            |                              2                   2                              \/ 2 *\/   13 - \/ 5  - 4*\/ 2 *\/  5 - \/ 5              |       
    2*atan|- -------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------|     -2*atan|-------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------|       
          |                                  ___________              ___________                                   ___________              ___________|            |                                ___________              ___________                                   ___________              ___________|       
          |         ___       ___     ___   /       ___        ___   /       ___           ___       ___     ___   /       ___        ___   /       ___ |            |       ___       ___     ___   /       ___        ___   /       ___           ___       ___     ___   /       ___        ___   /       ___ |       
          \  -5 + \/ 5  - 4*\/ 3  + \/ 6 *\/  5 - \/ 5   + 2*\/ 2 *\/  5 - \/ 5     -5 + \/ 5  - 4*\/ 3  + \/ 6 *\/  5 - \/ 5   + 2*\/ 2 *\/  5 - \/ 5  /            \-5 + \/ 5  - 4*\/ 3  + \/ 6 *\/  5 - \/ 5   + 2*\/ 2 *\/  5 - \/ 5     -5 + \/ 5  - 4*\/ 3  + \/ 6 *\/  5 - \/ 5   + 2*\/ 2 *\/  5 - \/ 5  /  2*pi 
[0, -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------] U [----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, ----]
                                                                              3                                                                                                                                                        3                                                                             3
x in [0,2atan⁡(2−425−5−5+13−43−5+5+65−5+225−5−−50−1052−10−252+2+25−43−5+5+65−5+225−5)3]∪[−2atan⁡(−50−1052−10−252+2+25−43−5+5+65−5+225−5+2−425−5−5+13−43−5+5+65−5+225−5)3,2π3]x\ in\ \left[0, \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- 4 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{5} + 13}}{- 4 \sqrt{3} - 5 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + 2 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} - \frac{- \frac{\sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}}{2} - \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{2} + 2 + 2 \sqrt{5}}{- 4 \sqrt{3} - 5 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + 2 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}}{3}\right] \cup \left[- \frac{2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \frac{\sqrt{50 - 10 \sqrt{5}}}{2} - \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{2} + 2 + 2 \sqrt{5}}{- 4 \sqrt{3} - 5 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + 2 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{- 4 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}} - \sqrt{5} + 13}}{- 4 \sqrt{3} - 5 + \sqrt{5} + \sqrt{6} \sqrt{5 - \sqrt{5}} + 2 \sqrt{2} \sqrt{5 - \sqrt{5}}} \right)}}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right] 
x in Union(Interval(0, 2*atan(sqrt(2)*sqrt(-4*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5)) - sqrt(5) + 13)/(-4*sqrt(3) - 5 + sqrt(5) + sqrt(6)*sqrt(5 - sqrt(5)) + 2*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5))) - (-sqrt(50 - 10*sqrt(5))/2 - sqrt(10 - 2*sqrt(5))/2 + 2 + 2*sqrt(5))/(-4*sqrt(3) - 5 + sqrt(5) + sqrt(6)*sqrt(5 - sqrt(5)) + 2*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5))))/3), Interval(-2*atan((-sqrt(50 - 10*sqrt(5))/2 - sqrt(10 - 2*sqrt(5))/2 + 2 + 2*sqrt(5))/(-4*sqrt(3) - 5 + sqrt(5) + sqrt(6)*sqrt(5 - sqrt(5)) + 2*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5))) + sqrt(2)*sqrt(-4*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5)) - sqrt(5) + 13)/(-4*sqrt(3) - 5 + sqrt(5) + sqrt(6)*sqrt(5 - sqrt(5)) + 2*sqrt(2)*sqrt(5 - sqrt(5))))/3, 2*pi/3))
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